Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E，F分別是棱AB，BC上的點，且EB=FB=1．
（1）求異面直線EC₁與FD₁所成角的余弦值；
（2）試在面ABCD上確定一點G，使G到平面D₁EF距離為

11

11

．

Answer 1

分析：（1）以D為原點，DA，DC，DD₁分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，得用向量法能求出異面直線EC₁與FD₁所成角的余弦值．
（2）由D₁（0，0，2），E（3，3，0），F（2，4，0），知

D1E

=（3，3，-2），

D1F

=（2，4，-2），從而求出平面D₁EF垂直

n

=（1，1，3），再由G到平面D₁EF距離為

11

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，能夠在面ABCD上確定一點G．

解答：解：（1）以D為原點，DA，DC，DD₁分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
∵AB=4，AD=3，AA₁=2，E，F分別是棱AB，BC上的點，且EB=FB=1，
∴D₁（0，0，2），E（3，3，0），F（2，4，0），C₁（0，4，2）．（1分）
∴

EC1

=（-3，1，2），

FD1

=（-2，-4，2）（3分）
∴異面直線EC₁與FD₁所成角的余弦值=|cos＜

EC1

，

FD1

＞|=|

6-4+4

14 • 24

|=

21

14

．
（2）∵D₁（0，0，2），E（3，3，0），F（2，4，0），
∴

D1E

=（3，3，-2），

D1F

=（2，4，-2），
設向量

n

=（x，y，z）與平面D₁EF垂直，則有

n

•

D1E

=0，

n

•

D1F

=0，
∴

3x+3y-2z=0 2x+4y-2z=0

，解得

n

=（1，1，3），
設在面ABCD上確定一點G（a，b，0），則

EG

=（a-3，b-3，0），
∵G到平面D₁EF距離為

11

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，
∴

|a-3+b-3|

11

=

11

11

，
∴a+b-6=1，即b=7-a．
故在面ABCD上確定一點G（a，7-a，0），使G到平面D₁EF距離為

11

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．

點評：本題考查異面直線所成的角的余弦值求法，考查點到平面的距離的求法及其應用，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．