Question

【題目】在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)，交于點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成的角的大小；

（3）求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）由題設(shè)得知，再證明平面，可得出，然后利用直線與平面垂直的判定定理可得出平面；

（2）先利用等體積法計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離，然后利用作為直線與平面所成的角的正弦值，即可得出直線與平面所成的角的大小；

（3）先根據(jù)條件分析出所求距離為點(diǎn)到平面距離的，可得出點(diǎn)到平面的距離為，再利用第二問(wèn)的結(jié)論即可得出答案.

（1）以為直徑的球面交于點(diǎn)，則，

平面，平面，，

四邊形為矩形，.

,平面，平面，.

，平面；

（2）由（1）知，平面，平面，，

又，則為的中點(diǎn)，且，.

的面積為.

的面積為，

為的中點(diǎn)，所以，，

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，

.

設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.

因此，直線與平面所成角的大小為；

（3）平面，平面，，

，，

，且，則，

得，，

故點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的.

又是的中點(diǎn)，則、到平面的距離相等，

由（2）可知所求距離為.