Question

已知x＞1，y＞1且2log_xy-2log_yx+3=0，記M=x²-4y²．
（1）求出M關于x的函數解析式f（x），并求其值域；
（2）解關于t的方程f（t²+2）=f（3t）．

Answer 1

分析：（1）設n=log_xy，根據題意可得n＞0，以及得到2n²+3n-2=0，求出n的數值即可得到y²=x，進而得到函數f（x）的解析式，再根據二次函數的性質得到答案．
（2）結合二次函數的性質可得：t²+2=3t或者（t²+2）+（3t）=4，即可求出t的值，再根據函數的定義域得到方程的解．

解答：解：（1）設n=log_xy，
因為x＞1，y＞1，所以n＞0．
因為2log_xy-2log_yx+3=0，
所以可得2n²+3n-2=0，解得：n=

1

2

或者n=-2（舍去），
所以log_xy=

1

2

，即y²=x，
所以M=x²-4y²=x²-4x，即f（x）=x²-4x，（x＞1），
根據二次函數的有關性質可得：f（x）∈[-3，+∞），即值域為[-3，+∞）．
（2）由（1）并且結合二次函數的性質可得：t²+2=3t或者（t²+2）+（3t）=4，
解得t=1，t=2，t=

-3+ 17

2

，t=

-3- 17

2

．
又因為f（x）=x²-4x，（x＞1），
所以t²+2≥-3，并且3t≥-3，解得：t≥-1．
所以方程的解為t=1，t=2，t=

-3+ 17

2

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握一元二次方程的解法與一元二次函數的有關性質，以及對數的有關運算，此題屬于中檔題型．