Question

如圖，△ABC的頂點A、B、C所對的邊分別為a、b、c，A為圓心，直徑PQ=2r，問：當P、Q取什么位置時，

BP

•

CQ

有最大值？

Answer 1

分析：利用向量的加、減法的三角形法則先表示

BP

•

CQ

=(

AP

-

AB

)•(

AQ

-

AC

)，結合已知，利用向量的數量積展開整理可得則

BP

•

CQ

=-r²+cbcos∠BAC+racos∠PDB，從而可求．

解答：解：

BP

•

CQ

=（

AP

-

AB

）•（

AQ

-

AC

）
=（

AP

-

AB

）•（-

AP

-

AC

）
=-r²+

AB

•

AC

+

AP

•

CB

設∠BAC=α，PA的延長線與BC的延長線相交于D，∠PDB=θ，
則

BP

•

CQ

=-r²+cbcosα+racosθ
∵a、b、c、α、r均為定值，
∴當cosθ=1，即AP∥BC時，

BP

•

CQ

有最大值．

點評：本題主要考查了平面向量的綜合運用：向量的減法的三角形法則，向量的數量積，三角函數的最值的求解，屬于知識的綜合運用．