Question

已知函數．
（Ⅰ）求證：存在定點M，使得函數f（x）圖象上任意一點P關于M點對稱的點Q也在函數f（x）的圖象上，并求出點M的坐標；
（Ⅱ）定義，其中n∈N^*且n≥2，求S₂₀₁₁；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的S_n，求證：對于任意n∈N^*都有．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題中已知條件可知函數f（x）上的點P和點Q關于點M對稱，可根據f（x）+f（2a-x）=2b可以求出a和b的值，進而可以證明；
（Ⅱ）根據題中已知條件先求出S_n的表達式，進而將n=2011代入即可求出S₂₀₁₁的值；
（Ⅲ）根據（Ⅱ）中求得的Sn的表達式先求出lnSn+2-lnSn+1的表達式，即可證明．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知：函數定義域為（0，1）．
設點M的坐標為（a，b），
則由，
對于x∈（0，1）恒成立，
于是，
解得．
所以存在定點，使得函數f（x）的圖象上任意一點P關于M點對稱的點Q也在函數f（x）的圖象上．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）+f（1-x）=1，
∵…①
∴…②
①+②，得2S_n=n-1，
∴，
故S₂₀₁₁=1005．
（Ⅲ）當n∈N^*時，由（Ⅱ）知，
于是等價于．…（10分）
令g（x）=x³-x²+ln（1+x），則，
∴當x∈[0，+∞）時，g'（x）＞0，即函數g（x）在[0，+∞）上單調遞增，又g（0）=0．
于是，當x∈（0，+∞）時，恒有g（x）＞g（0）=0，即x³-x²+ln（1+x）＞0恒成立．…（12分）
故當x∈（0，+∞）時，有ln（1+x）＞x²-x³成立，取，
則有成立．…（14分）
點評：本題主要考查了數列的遞推公式以及數列與函數的綜合應用，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．