Question

已知正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，M為AC上一點，N為BF上一點，且AM=FN=x有，設AB=a
（1）求證：MN∥平面CBE；
（2）求證：MN⊥AB；
（3）當x為何值時，MN取最小值？并求出這個最小值．

Answer 1

分析：（1）先由

MG

AB

=

MC

NC

=

NB

EF

相似性推知MG

∥ .

.

NH得出MNHG為平行四邊形，從而求證MN∥GH，由線面平行的判定定理證得MN∥面BEC；（2）由AB⊥BC，AB⊥BE，結合線面垂直的判定定理證出AB⊥面BEC，從而有AB⊥GH，再由垂直于平行線中的一條，則垂直于另一條，得到MN⊥AB；
（3）由面ABCD⊥面ABEF，得到BE⊥面ABCD，從而有BE⊥BC，BG=

x

2

，BH=

2 a-x

2

，建立MN=GH=

BG2+BH2

二次函數模型從而求得最值．

解答：證明：（1）在平面ABC中，作MG∥AB，在平面BFE中，作NH∥EF，
連接GH∵AM=FN∴MC=NB∵

MG

AB

=

MC

NC

=

NB

EF

∴MG

∥ .

.

NH∴MNHG為平行四邊形；∴MN∥GH
又∵GH⊆面BEC，MN_≠^?面BEC∴MN∥面BEC
（2）∵AB⊥BC，AB⊥BE∴AB⊥面BEC∵GH⊆面GEC∴AB⊥GH∵MN∥GH∴MN⊥AB
（3）∵面ABCD⊥面ABEF∴BE⊥面ABCD∴BE⊥BC
∵BG=

x

2

，BH=

2 a-x

2

∴MN=GH=

BG2+BH2

=

x2+x2-2 2 ax+2a2 2

=

x2- 2 ax+a2

（0＜a＜

2

a）
=

(x- 2 2 a)2+ a2 2

≤

2

2

a當且僅當x=

2

2

a時，等號成立；
∴當x=

2

2

a時，MN取最小值

2

2

a．

點評：本題主要通過平面圖形中的相似性轉化線線平行，進而轉化為線面平行來考查線面平行的判定定理，以及線面垂直的判定和培養學生平面和空間的轉化及建模能力．