Question

已知函數f(x)=（ａ＞０，ａ≠１）．

(1) 證明函數f(x)的圖象關于點P()對稱．

(2) 令a_n＝，對一切自然數n，先猜想使a_n＞ｎ^２成立的最小自然數a,并證明之．

(3) 求證：∈Ｎ).

Answer 1

證明見解析

解析:

(1)關于函數的圖象關于定點P對稱, 可采用解幾中的坐標證法.

設M(x,y)是f(x)圖象上任一點，則M關于P()的對稱點為M’（１－ｘ，１－ｙ），

   

∴Ｍ′(1-x,1-y)亦在f(x)的圖象上，

故函數f(x)的圖象關于點P()對稱.

(2)將f(n)、f(1-n)的表達式代入a_n的表達式，化簡可得a_n＝ａ^ｎ猜a=3,

即3^ｎ＞ｎ^２．

下面用數學歸納法證明．

設n=k(k≥２)時，3^ｋ＞ｋ^２．

那么n=k+1，3^ｋ＋１＞３·３^ｋ＞３ｋ^２

又3k^２－（ｋ＋１）^２＝２（ｋ－）^２－≥０（ｋ≥２，ｋ∈Ｎ）

∴３^ｎ＞ｎ^２.

(3)∵３^ｋ＞ｋ^２

∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ

令k=1,2,…，n，得n個同向不等式，并相加得：