Question

已知函數f（x）=2cos²x-sin（2x-

7π

6

）
（1）求函數f（x）在[-

π

4

，

π

2

]上的最大值和最小值，并求出對應的x值．
（2）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若f（A）=

3

2

，b+c=2，求實數a的最小值．

Answer 1

考點：余弦定理,三角函數的最值

專題：解三角形

分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的余弦函數公式及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由正弦函數的值域確定出最小值與最大值，以及相應x的值即可；
（2）由f（A）=

3

2

，求出A的度數，利用余弦定理列出關系式，把cosA的值代入并利用完全平方公式化簡，把b+c的值代入，利用基本不等式求出a的最小值即可．

解答： 解：（1）f（x）=1+cos2x-（sin2xcos

7π

6

-cos2xsin

7π

6

）=1+cos2x+

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x+

π

6

）+1，
∵x∈[-

π

4

，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

7π

6

]，
∴當x=

π

6

時，f（x）_max=2；當x=-

π

4

時，f（x）_min=1-

3

2

；
（2）f（A）=sin（2A+

π

6

）+1=

3

2

，即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=4-3bc，
∴4-a²=3bc≤3×（

b+c

2

）²，即a²≥1，
解得：a≥1，
則實數a的最小值為1．

點評：此題考查了余弦定理，基本不等式的運用，以及兩角和與差的正弦函數公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．