Question

已知函數f（x）定義在區間（-1，1）上，f(

1

2

)=-1，對任意x、y∈（-1，1），恒有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)成立，又數列a_n滿足a1=

1

2

，an+1=

2an

1+an 2

，
設bn=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+

1

f(a3)

+…+

1

f(an)

．
（1）在（-1，1）內求一個實數t，使得f(t)=2f(

1

2

)；
（2）證明數列f（a_n）是等比數列，并求f（a_n）的表達式和

lim

n→∞

bn的值；
（3）設cn=

n

2

bn+2，是否存在m∈N⁺，使得對任意n∈N⁺，cn＜

6

7

log

2 2

m-

18

7

log2m 恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）令x=y=

1

2

可得，f(

1

2

)+f(

1

2

)=f(

1 2 + 1 2

1+ 1 2 × 1 2

)=f(

4

5

)=-2，從而可求t
（2）由a1=

1

2

，an+1=

2an

1+an 2

可令x=y=a_n可得2f(an)=f(

2an

1+ a 2 n

)=f(an+1)，從而可證，結合等比數列的通項公式可求f（a_n）；利用等比數列的求和公式可求bn=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+

1

f(a3)

+…+

1

f(an)

（3）用等比數列的求和公式可求bn=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+

1

f(a3)

+…+

1

f(an)

，代入可求cn=

n

2

bn+2=-n+

n

2n

+2，由c_n 是遞減數列，可得cn≤c1=-1+

1

2

+2=

3

2

，只須6lo

g

2 2

m-18log2m＞

21

2

，解不等式可求m的最小正數值

解答：解：（1）令x=y=

1

2

可得，f(

1

2

)+f(

1

2

)=f(

1 2 + 1 2

1+ 1 2 × 1 2

)=f(

4

5

)=-2
∵f(t)=2f(

1

2

)=-2∴t=

4

5

（2）∵a1=

1

2

，an+1=

2an

1+an 2

令x=y=a_n可得2f(an)=f(

2an

1+ a 2 n

)=f(an+1)，f(a1)=f(

1

2

)=-1
∴數列{f（a_n）}是以-1為首項，以2為公比的等比數列
∴f（a_n）=-2^n-1
bn=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+

1

f(a3)

+…+

1

f(an)

=-（

1

20

+

1

21

+…

1

2n-1

）
=-

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=-2+(

1

2

)n-1
∴

lim

x→∞

bn=

-1

1- 1 2

=-2．
（3）由（2）得，bn=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+

1

f(a3)

+…+

1

f(an)

=-（

1

20

+

1

21

+…

1

2n-1

）
∴cn=

n

2

bn+2=-n+

n

2n

+2，∴c_n 是遞減數列，
∴cn≤c1=-1+

1

2

+2=

3

2

，只須6lo

g

2 2

m-18log2m＞

21

2

，
即4log₂²m-12log₂m-7＞0，
解可得，log2m＜-

1

2

或log2m＞

7

2

∴0＜m＜

2

2

≈0.71或，m＞8

2

≈11.31
∴當m≥12，且m∈N^* 時，7c_n＜6log₂²m-18log₂m 對任意n∈N^* 恒成立，
∴m 的最小正整數值為12．

點評：本題主要考查了借、借助抽象函數的關系求解數列的項及通項公式，解題的關鍵是要根據函數關系合理的賦值，還考查了等比數列的通項公式及求和公式及數列單調性求數列最值的應用，綜合的知識較多．