Question

已知函數f(x)=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值.

（1）求函數f(x)的解析式；

（2）求證：對于區(qū)間［-1,1］上任意兩個自變量的值x₁,x₂，都有|f(x₁)-f(x₂)|≤4；

（3）若過點A(1,m)可作曲線y=f(x)的三條切線，求實數m的取值范圍.

Answer 1

（1）解:f′(x)=3ax²+2bx-3,依題意,f′(1)=f′(-1)=0,

即解得a=1,b=0.∴f(x)=x³-3x.

（2）證明:∵f(x)=x³-3x,∴f′(x)=3x³-3=3(x+1)(x-1).

當-1＜x＜1時,f′(x)＜0,故f(x)在區(qū)間［-1,1］上為減函數,

f_max(x)=f(-1)=2,f_min(x)=f(1)=-2.

∵對于區(qū)間［-1,1］上任意兩個自變量的值x₁,x₂,都有|f(x₁)-f(x₂)|≤|f_max(x)-f_min(x)|,

∴|f(x₁)-f(x₂)|≤|f_max(x)-f_min(x)|=|2-(-2)|=4.

（3）解:f′(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1),∵曲線方程為y=x³-3x,∴點A(1,m)不在曲線上.

設切點為M(x₀,y₀),則點M的坐標滿足y₀=x₀³-3x₀.∵f′(x₀)=3(x₀²-1),

故切線的斜率為3(x₀²-1)=,整理得2x₀³-3x₀²+m+3=0.

∵過點A(1,m)可作曲線的三條切線,∴關于x₀的方程2x₀³-3x₀²+m+3=0有三個實根.

設g(x₀)=2x₀³-3x₀²+m+3,則g′(x₀)=6x₀²-6x₀.由g′(x₀)=0,得x₀=0或x₀=1.

∴g(x₀)在(-∞,0),(1,+∞)上單調遞增,在（0,1）上單調遞減.

∴函數g(x₀)=2x₀³-3x₀²+m+3的極值點為x₀=0,x₀=1.

∴關于x₀方程2x₀³-3x₀²+m+3=0有三個實根的充要條件是解得-3＜m＜-2.

故所求的實數m的取值范圍是-3＜m＜-2.