Question

（2012•葫蘆島模擬）已知a_n=

∫

n 0

（2x+1）dx，數列{

1

an

}的前n項和為S_n，b_n=n-33，n∈N^*，則b_nS_n的最小值為

-

70

3

．

Answer 1

分析：由題意，先由微積分基本定理求出a_n再根據通項的結構求出數列{

1

an

}的前n項和為S_n，然后代入求b_nS_n的最小值即可得到答案

解答：解：a_n=

∫

n 0

（2x+1）dx=（x²+x）

|

n 0

=n²+n
∴

1

an

=

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴數列{

1

an

}的前n項和為S_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

又b_n=n-33，n∈N^*，
則b_nS_n=

n

n+1

×（n-33）=n+1+

34

n+1

-35≥2

34

-35，等號當且僅當n+1+

34

n+1

，即n=

34

-1時成立，
由于n是正整數，且

34

-1∈（4，5），后面求n=4，n=5時b_nS_n的值
當n=4時，b_nS_n=

n

n+1

×（n-33）=-

106

5

；當n=5時，b_nS_n=

n

n+1

×（n-33）=-

70

3

由于-

106

5

＞-

70

3

，故b_nS_n的最小值為-

70

3

故答案為-

70

3

點評：本題考查微積分基本定理及數列的求和，數列的最值等問題，綜合性強，知識轉換快，解題時要嚴謹認真，莫因變形出現失誤導致解題失敗