Question

已知四棱錐P-ABCD（如圖），底面是邊長為2的正方形，側棱PA⊥底面ABCD，M、N分別為AD、BC的中點，MQ⊥PD于Q．
（1）求證：平面PMN⊥平面PAD；
（2）PA=2，求PM與平面PCD所成角的正弦值；
（3）求二面角P-MN-Q的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要證明平面PMN⊥平面PAD，我們只要證明一個平面經過另一個平面的垂線即可，分析圖中已知直線易得，MN⊥平面PAD滿足要求，故我們可以先MN⊥平面PAD，然后根據面面垂直的判定定理，即可求解．
（2）要求PM與平面PCD所成角的正弦值，關鍵是要找到PM在平面PCD上的射影，由MN∥CD，我們根據（1）的結論，易得CD⊥平面PAD，進而得到平面PCD⊥平面PAD，則過M做PD的垂線，則垂足Q，即為M點在平面PCD上的射影，PQ即為PM在平面PCD上的射影，解三角形PMQ，即可得到答案．
（3）由（1）的結論，∠PMQ即為二面角P-MN-Q的平面角，解三角形PMQ，即可得到答案．

解答：證明：（1）∵PA⊥底面ABCD，MN?底面ABCD
∴MN⊥PA
又∵MN⊥AD，且PA∩AD=A
∴MN⊥平面PAD
又∵MN?平面PMN
∴平面PMN⊥平面PAD
（2）∵CD∥MN
∴CD⊥平面PAD
∴平面PCD⊥平面PAD
又∵MQ⊥PD于Q
∴MQ⊥平面PCD
∴∠MPQ即為PM與平面PCD所成的角
∵PA=AD=2
∴△PAD為等腰直角三角形
則PM=

5

，MQ=

2

2

，MD=

2

2

，
∴sin∠MPQ=

MQ

PM

=

10

10

（3）由（1）MN⊥平面PAD知：
PM⊥MN，MQ⊥MN
∴∠PMQ即為二面角P-MN-Q的平面角
而PM=

5

，MQ=

2

2

，
∴cos∠PMQ=

MQ

PM

=

10

10

點評：求直線和平面所成的角時，應注意的問題是：（1）先判斷直線和平面的位置關系．（2）當直線和平面斜交時，常用以下步驟：①構造--作出或找到斜線與射影所成的角；②設定--論證所作或找到的角為所求的角；③計算--常用解三角形的方法求角；④結論--點明斜線和平面所成的角的值．