Question

已知函數f(x)=

(x+1)lnx

x-1

(x＞0且x≠1)
（1）討論函數f（x）的單調性
（2）證明：f（x）＞2．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數的解析式，可得f′(x)=

-2lnx+x- 1 x

(x-1)2

，構造函數g（x）=-2lnx+x-

1

x

，利用導數法，可得當x∈（0，1）時，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當x∈（1，+∞）時，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
（2）原不等式可化為

x+1

x-1

[lnx-

2(x-1)

x+1

]＞0，構造函數h（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，利用導數法，可得當x∈（0，1）時和x∈（1，+∞）時，h（x）與

x+1

x-1

同號，即

x+1

x-1

[lnx-

2(x-1)

x+1

]＞0成立，進而得到結論；

解答：解：（1）∵f(x)=

(x+1)lnx

x-1

(x＞0且x≠1)
∴f′(x)=

-2lnx+x- 1 x

(x-1)2

令g（x）=-2lnx+x-

1

x

則g′（x）=

-2

x

+1+

1

x2

=(

x-1

x

)2
由g′（x）≥0恒成立得，g（x）在（0，+∞）單調遞增，
又∵g（1）=0
故當x∈（0，1）時，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
當x∈（1，+∞）時，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
（2）證明：原不等式就是

(x+1)lnx

x-1

-2＞0，即

x+1

x-1

[lnx-

2(x-1)

x+1

]＞0
令h（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

則h′（x）=

1

x

(

x-1

x+1

)2
∵h′（x）≥0恒成立得，h（x）在（0，+∞）單調遞增，
又∵h（1）=0
故當x∈（0，1）時，h（x）＜0，

x+1

x-1

＜0，此時

x+1

x-1

[lnx-

2(x-1)

x+1

]＞0成立；
當x∈（1，+∞）時，h（x）＞0，

x+1

x-1

＞0，此時

x+1

x-1

[lnx-

2(x-1)

x+1

]＞0成立；
∴當x＞0且x≠1時，f（x）＞2

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，函數單調性的性質，其中構造函數法屬于導數應用的難點．