Question

設一次函數f（x）=ax+b，其中a，b為實數，f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n=1，2，3，…，若f₅（x）=32x+31，則f₂₀₀₈（-1）=

-1

．

Answer 1

分析：根據題意分別推出f₂（x），f₃（x），f₄（x）及f₅（x）的解析式，又f₅（x）=32x+31，根據兩多項式相等時，系數對應相等，即可列出關于a與b的方程，求出方程的解即可得到a與b的值，然后利用函數f_n+1（x）=f（f_n（x））得出函數的取值的規律去求值．

解答：解：因為f（x）=ax+b，f_n+1（x）=f（f_n（x）），所以f₁（x）=f（x）=ax+b，f₂（x）=f（f₁（x））=f（ax+b）=a（ax+b）+b=a²x+ab+b，
f（f₃（x））=f（f₂（x））=a[a（ax+b）+b]+b=a³x+a²b+ab+b，
同理f₄（x）=f（f₃（x））=a⁴x+a³b+a²b+ab+b，
則f₅（x）=f（f₄（x））=a⁵x+a⁴b+a³b+a²b+ab+b=32x+31，
即a⁵=32①，a⁴b+a³b+a²b+ab+b=31②，解得a=2，b=1，
所以f（x）=2x+1，則f₁（-1）=-1，f₂（-1）=-1，…fn（-1）=-1．
所以f₂₀₀₈（-1）=-1．
故答案為：-1．

點評：此題考查使用待定系數法求函數解析式的方法，要求學生會根據一系列等式推出一般性的規律，掌握兩多項式相等時滿足的條件，是一道運算 量比較大的題目．