Question

已知⊙O′過定點A（0，p）（p＞0），圓心O'在拋物線C：x²=2py上運動，MN為圓O′在x軸上所截得的弦．
（1）當O′點運動時，|MN|是否有變化？并證明你的結(jié)論；
（2）當|OA|是|OM|與|ON|的等差中項且M，N在原點O的右側(cè)時，試判斷拋物線C的準線與圓O′是相交、相切還是相離，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出圓的方程，求出M，N兩點的坐標表示出|MN|即可發(fā)現(xiàn)|MN|的取值是否變化．
（2）設(shè)M，N的中點為B，則|OM|+|ON|=2|OB|且O′B⊥MN，由|OA|=|OM|+|ON|，得|O′A|=

5

2

p．由此能夠?qū)С觥裃與拋物線的準線總相交．

解答：解：（1）設(shè)O′（x₀，y₀），則x₀²=2py₀（y₀≥0），則⊙O′的半徑|O′A|=

x 2 0 +(y0-p)2

（2分）
⊙O′的方程為（x-x₀）²+（y-y₀）²=x₀²+（y₀-p）²
令y=0，并把x₀²=2py₀代入得x²-2x₀x+x₀²-p²=0，（3分）解得x₁=x₀-p，x₂=x₀+p，
∴|MN|=|x₁-x₂|=2p，（5分），∴|MN|不變化，為定值2p．                                              （6分）
（2）設(shè)M，N的中點為B，則|OM|+|ON|=2|OB|且O′B⊥MN（8分）
又∵|OA|是|OM|與|ON|的等差中項，∴|OM|+|ON|=2|OA|，（9分）
可得B(p，0)，O′(p，

p

2

)
∴|O′A|=

p2+( p 2 -p)2

=

5

2

p（11分）
又∵點O′到拋物線C的準線的距離為

p

2

-(-

p

2

)=p＜

5

2

p，∴圓O′與拋物線C的準線相交．       （13分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓錐曲線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．