Question

已知⊙O′過定點A(0，p)(p＞0)，圓心O′在拋物線C:x²=2py上運動，MN為圓O′在x軸上所截得的弦．

(Ⅰ)當O′點運動時，|MN|是否有變化?并證明你的結論；

(Ⅱ)當|OA|是|OM|與|ON|的等差中項且M、N在原點O的右側時，試判斷拋物線C的準線與圓O′是相交、相切還是相離，并說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)設O′(x₀，y₀)，則=2py₀(y₀≥0)

則⊙O′的半徑|O′A|=

⊙O′的方程為(x- x₀)²+(y-y₀)²=+( y₀-p)²

令y=0，并把=2py₀代入得

x²-2x₀x+-p²=0，

解得x₁=x₀-p，x₂=x₀+p，

∴|MN|-|x₁-x₂|=2p,

∴|MN|不變化，為定值2p．

(Ⅱ)設M、N的中點為B，

則|OM|+|ON|=2|OB|且O′B⊥MN

又∵|OA|是|OM|與|ON|的等差中項，

∴|OM|+|ON|=2|OA|，

可得B(p，0)，O′(p,)

∴|O′A|=p

又∵點O′到拋物線C的準線的距離為

-(-)=p＜p，

∴圓O′與拋物線C的準線相交．