Question

已知函數f(x)=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

的最大值為g（a）．
（1）設t=

1+x

+

1-x

，求t的取值范圍；
（2）用第（1）問中的t作自變量，把f（x）表示為t的函數m（t）；
（3）求g（a）．

Answer 1

分析：（1）先根據根號內有意義求出自變量的范圍，再對t兩邊平方結合x的范圍即可求出結論；
（2）直接根據

1-x2

=

1

2

t²-1即可求出m（t）；
（3）根據第二問的結論知道g（a）即為函數M（t）=

1

2

at²+t-a在t∈[

2

，2]的最大值；然后再結合二次函數在閉區間上的最值求法分對稱軸和區間的三種位置關系分別討論即可．（注意開口方向）

解答：解：（1）令t=

1+x

+

1-x

，要使t有意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1，
∴t²=2+2

1-x2

∈[2，4]，t≥0．
∴t的取值范圍[

2

，2]．
（2）由（1）知，

1-x2

=

1

2

t²-1
∴M（t）=a（

1

2

t²-1）+t=

1

2

at²+t-a，（

2

≤t≤2）
（3）由題意得g（a）即為函數M（t）=

1

2

at²+t-a在t∈[

2

，2]的最大值，
注意到直線t=-

1

a

是拋物線M（t）的對稱軸，分別分以下情況討論．
當a＞0時，y=M（t）在t∈[

2

，2]上單調遞增，∴g（a）=M（2）=a+2．
當a=0時，M（t）=t，t∈[

2

，2），∴g（a）=2；
當a＜0時，函數y=M（t），t∈[

2

，2]圖象開口向下；
若t=-

1

a

∈（0，

2

]即a≤-

2

2

時，則g（a）=M（

2

）=

2

；
若t=-

1

a

∈（

2

，2]即-

2

2

＜a≤-

1

2

時，則g（a）=M（-

1

a

）=-a-

1

2a

；
若t=-

1

a

∈（2，+∞），-

1

2

＜a＜0時，則g（a）=M（2）=a+2．
綜上得：g（a）=

a+2，    a＞- 1 2 -a- 1 2a ，  - 2 2 ＜a≤- 1 2   2 ，            a≤- 2 2

點評：本題主要考察分段函數的應用問題以及分類討論思想的應用．解決本題的關鍵在于第一問中的t的取值范圍不能出錯．而第三問涉及到二次函數在閉區間上的最值討論，一定要注意討論對稱軸和區間的位置關系．