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已知函數f(x)=
ax+b
1+x2
是定義在(-1,1)上的奇函數,且f(
1
2
)=
2
5

(1)試求出函數f(x)的解析式;
(2)證明函數在定義域內是單調增函數.
分析:(1)根據函數f(x)=
ax+b
1+x2
是定義在(-1,1)上的奇函數,可得f(0)=0,結合f(
1
2
)=
2
5
,可求出a,b值,進而得到函數f(x)的解析式;
(2)直接利用函數單調性的定義進行證明,設在(-1,1)上任取兩個數x1,x2,且x1>x2,然后判定f(x1)-f(x2)的符號,從而得到結論.
解答:解:(1)∵函數f(x)=
ax+b
1+x2
是定義在(-1,1)上的奇函數,
∴f(0)=0,即b=0
又∵f(
1
2
)=
2
5
,∴
a
2
1+
1
4
=
2
5
,解得a=1
f(x)=
x
1+x2

(2)任取任取兩個數x1,x2∈(-1,1),且x1<x2
則f(x1)-f(x2)=
x1
1+x12
-
x2
1+x22
=
(x1-x2)(1-x1x2)
(1+x12)(1+x22)
<0
因為x1,x2∈(-1,1),且x1<x2
∴x1-x2<0,1+x12>01+x22>0,1-x1•x2>0
則f(x1)<f(x2
故函數f(x)=
ax+b
1+x2
在(-1,1)上單調遞增
點評:本題主要考查了函數奇偶性的性質,函數單調性的證明,解題的關鍵是化簡判定符號,同時考查了運算求解的能力,屬于基礎題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實數f(x)總是為增函數;
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數;
(3)當f(x)為奇函數時,求f(x)的值域.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經過點Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標系中畫出函數f(x)的大致圖象;
(2)求函數f(t)-9的零點;
(3)設q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數q(t)的單調遞增區間.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數,則a=(  )
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數f(x)的單調區間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實數a的值;
(III)設g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對數的底數)

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數,求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調性的情況,并證明你的結論.

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