Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，D、E、F分別是棱PA、PB、PC的中點，連接DE，DF，EF．
（1）求證：平面DEF∥平面ABC；
（2）若PA=BC=2，當三棱錐P-ABC的體積的最大值時，求二面角A-EF-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中D、E分別是棱PA、PB的中點，根據三角形中位線定理，我們可以得到DE∥AB，由線面平行的判定定理可得DE∥平面PAB，同理可證DF∥平面PAB，進而由面面平行的判定定理，我們可得平面DEF∥平面ABC；
（2）若PA=BC=2，當三棱錐P-ABC的體積的最大值時，我們可得AB=AC=

2

，此時二面角A-EF-D有兩種方法：
①幾何法：作DG⊥EF，垂足為G，連接AG，則∠AGD是二面角A-EF-D的平面角，解△AGD即可求出二面角A-EF-D的平面角的余弦值．
②向量法：分別以AB、AC、AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，分別求出平面AEF與平面DEF的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角A-EF-D的平面角的余弦值．

解答：解：（1）證明：∵D、E分別是棱PA、PB的中點，
∴DE是△PAB的中位線，∴DE∥AB，
∵DE?平面ABC，AB?平面ABC，
∴DE∥平面ABC，…（2分）
同理DF∥平面ABC
∵DE∩DF=D，DE?平面DEF，
DF?平面DEF，
∴平面DEF∥平面ABC．…（4分）
（2）求三棱錐P-ABC的體積的最大值，給出如下兩種解法：
解法1：由已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，PA=BC=2，
∴AB²+AC²=BC²=4，
∴三棱錐P-ABC的體積為V=

1

3

×PA×S△ABC=

1

3

×PA×

1

2

×AB×AC
=

1

6

×2×AB×AC≤

1

3

×

AB2+AC2

2

=

1

3

×

BC2

2

=

2

3

．
當且僅當AB=AC時等號成立，V取得最大值，其值為

2

3

，此時AB=AC=

2

．
解法2：設AB=x，在△ABC中，AC=

BC2-AB2

=

4-x2

（0＜x＜2），
∴三棱錐P-ABC的體積為V=

1

3

×PA×S△ABC=

1

3

×PA×

1

2

×AB×AC=

1

3

x

4-x2

…（6分）
=

1

3

4x2-x4

=

1

3

-(x2-2)2+4

，
∵0＜x＜2，0＜x²＜4，∴當x²=2，即x=

2

時，V取得最大值，其值為

2

3

，此時AB=AC=

2

．…（8分）
求二面角A-EF-D的平面角的余弦值..，給出如下兩種解法：
解法1：作DG⊥EF，垂足為G，連接AG，
∵PA⊥平面ABC，平面ABC∥平面DEF，∴P A⊥平面DEF，
∵EF?平面DEF，∴P A⊥EF．
∵DG∩PA=D，∴EF⊥平面PAG，AG?平面PAG，∴EF⊥AG，
∴∠AGD是二面角A-EF-D的平面角．…（10分）
在Rt△EDF中，DE=DF=

1

2

AB=

2

2

，EF=

1

2

BC=1，∴DG=

1

2

．
在Rt△ADG中，AG=

AD2+DG2

=

1+ 1 4

=

5

2

，
∴∠AGD=

DG

AG

=

1 2

5 2

=

5

5

．
∴二面角A-EF-D的平面角的余弦值為

5

5

．…（14分）
解法2：分別以AB、AC、AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖的空間直角坐標系A-xyz，
則A（0，0，0），D（0，0，1），E（

2

2

，0，1），
F（0，

2

2

，1）．∴

AE

=(

2

2

，0， 1)，

EF

=(-

2

2

，

2

2

，0)．…（9分）
設

n

=(x，y，z)為平面AEF的法向量，
則

n • AE =0 n • EF =0

，
即

2 2 x+z=0 - 2 2 x+ 2 2 y=0

，令x=

2

，則y=

2

，z=-1，
∴

n

=(

2

，

2

，-1)為平面AEF的一個法向量．…（11分）
∵平面DEF的一個法向量為

DA

=(0， 0，-1)，
∴cos＜

n

， 

DA

＞=

n ，  DA

| n || DA |

=

1

( 2 )2+( 2 )2+(-1)2×1

=

5

5

，…（13分）
而

n

與

DA

所成角的大小等于二面角A-EF-D的平面角的大小．
∴二面角A-EF-D的平面角的余弦值為

5

5

．…（14分）．

點評：本題主要考查空間中的線面的位置關系、空間的角、幾何體體積等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，平面與平面平行的判定，二面角的平面角及求法，其中（1）的關鍵是證得DE∥平面PAB，DF∥平面PAB，（2）中幾何法的關鍵是證得∠AGD是二面角A-EF-D的平面角，向量法的關鍵是求出平面AEF與平面DEF的法向量．