Question

【題目】若函數滿足下列條件：在定義域內存在，使得成立，則稱函數具有性質；反之，若不存在，則稱函數不具有性質.

（Ⅰ）證明：函數具有性質，并求出對應的的值；

（Ⅱ）試分別探究形如①（）、②（且）、③（且）的函數，是否一定具有性質？并加以證明.

（Ⅲ）已知函數具有性質，求的取值范圍；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）把函數代入，解出從而求解；
（Ⅱ）函數恒具有性質，即關于的方程恒有解.

分別探究形如①（）、②（且）、③（且）的函數，把其代入進行一一驗證是否具有性質M；

（Ⅲ）根據具有性質，即存在x0，使得存在，使得，代入得到一個關于的方程，其中含有參數，并對進行討論，從而求出的取值范圍；

試題解析：（Ⅰ）證明： 代入得：

即，解得∴函數具有性質.

（Ⅱ）函數恒具有性質，即關于的方程（*）恒有解.

①若（），則方程（*）可化為，解得.

∴函數（）一定具備性質.

②若，則方程（*）可化為，化簡得即

當時，方程（*）無解

∴函數（且）不一定具有性質.

③若，則方程（*）可化為，化簡得顯然方程無解

∴函數（且）不一定具有性質.

（Ⅲ）解： 的定義域為，且可得，∵具有性質，

∴存在，使得，代入得化為

整理得： 有實根

①若，得，滿足題意；

②若，則要使有實根，只需滿足，即，解得

∴

綜合①②，可得