Question

已知定義在R上的函數f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d，其中a，b，c，d是實數．

(Ⅰ)若函數f(x)在區間(－∞，－1)和(3，＋∞)上都是增函數，在區間(－1，3)上是減函數，并且f(0)＝－7，(0)＝－18，求函數f(x)的表達式；

(Ⅱ)若a，b，c滿足b²－3ac＜0，求證：函數f(x)是單調函數．

Answer 1

答案：
解析：

解(1) 　　由 　　又由于在區間上是增函數，在區間(－1，3)上是減函數，所以－1和3必是的兩個根． 　　從而 　　又根據 　　(2)(x)＝3ax2＋2bx＋c．由條件b2－3ac＜0可知a≠0，c≠0． 　　因為為二次三項式，并且， 　　所以，當恒成立，此時函數是單調遞增函數； 　　當恒成立，此時函數是單調遞減函數． 　　因此，對任意給定的實數a，函數總是單調函數．