Question

已知函數f（x）定義域為R，且f（0）=1，對任意x，y∈R恒有f（x-y）=f（x）-

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y²（2x-y+3），
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）若方程f（x）=a有三個實數解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令y=x，代入已知式子，變形可得f(x)=

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x3+x2+1；
（2）因為方程f（x）=a有三個實數解，所以函數y=f（x）與y=a圖象有三個交點，求導數可得當x=-2時f（x）取極大值，f(x)極大值=

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，當x=0時，f（x）取極小值，f（x）_極小值=1，進而可得a的范圍．

解答：解：（1）因為f（0）=1，對任意x，y∈R恒有f(x-y)=f(x)-

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y2(2x-y+3)，
∴令y=x，代入可得f(0)=f(x)-

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x2(2x-x+3)，即f(x)=

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x3+x2+1，
（2）因為方程f（x）=a有三個實數解，所以函數y=f（x）與y=a圖象有三個交點
又因為f′（x）=x²+2x=x（x+2），
當x∈（-∞，-2）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
當x∈（-2，0）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
∴當x=-2時f（x）取極大值，f(x)極大值=

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，
當x=0時，f（x）取極小值，f（x）_極小值=1，
∴1＜a＜

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點評：本題考查函數的極值，涉及根的存在性即個數的判斷，屬中檔題．