Question

求和：1+2x+3x²+…+nx^n-1，x∈R．

Answer 1

解，根據題意，分3種情況討論：
（1）x=1時，由等差數列前n項和公式可得S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
（2）當x≠1時，
設S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1，①
則xS_n=x+2x²+3x³+…+nxⁿ，②
①-②可得：（1-x）S_n=1+x+x²+…+x^n-1-nxⁿ=1-nxⁿ+

x(1-xn-1)

1-x

則S_n=

1-(n+1)xn+nxn+1

(1-x)2

．
故當x=0時，S_n=1；
當x=1時，S_n=

n(n+1)

2

，
當x≠0且x≠1時，S_n=

1-(n+1)xn+nxn+1

(1-x)2

．