Question

求和S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1.

Answer 1

解：(1)當x=0時，S_n=1.

(2)當x=1時，S_n=1+2+3+…+n=.

(3)當x≠0且x≠1時，a_n=nx^n-1可看成是由一個等差數列b_n=n和一個等比數列c_n=x^n-1的對應項相乘得到的一個新的數列，進而想到用錯位相減法求它的前n項和S_n.

∵S_n=1+2x+3x²+…+(n-1)x^n-2+nx^n-1,

∴xS_n=x+2x²+3x³+…+(n-1)x^n-1+nxⁿ.

∴(1-x)S_n=1+x+x²+…+x^n-1-nxⁿ=-nxⁿ.

∵x≠1,

∴S_n=.

綜上，S_n=