Question

利用導數求和：
（1）S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1（x≠0，n∈N*）；
（2）S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ（n∈N*）．

Answer 1

（1）當x=1時，S_n=1+2+3+…+n=

n

2

（n+1），
當x≠1時，∵x+x²+x³++xⁿ=

x-xn+1

1-x

，
兩邊對x求導，得S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1=（

x-xn+1

1-x

）′=

1-(n+1)xn+nxn+1

(1-x)2

．
（2）∵（1+x）ⁿ=1+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ，
兩邊對x求導，得n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+nC_nⁿx^n-1．
令x=1，得n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
即S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³++nC_nⁿ=n•2^n-1．