Question

求證：對于任意的正整數(shù)n，(1+

2

)n必可表示成

s

+

s-1

的形式，其中s∈N₊．

Answer 1

分析：直接兩條二項(xiàng)式定理展開(1+

2

)n，設(shè)出整數(shù)與無理數(shù)部分，通過(

2

-1)n展開，然后利用平方差公式，即可求出所證明的結(jié)果．

解答：證明：(1+

2

)n=1+

C

1 n

2

+

C

2 n

(

2

)2+

C

3 n

(

2

)3+…+

C

n n

(

2

)n
設(shè)其中的整數(shù)項(xiàng)的和為p，含有

2

項(xiàng)的和為Q，
則(1+

2

)n=P+Q，(

2

-1)n=Q-P，
(1+

2

)n=

P2

+

Q2

，
∵Q²-P²=（P+Q）（Q-P）=(1+

2

)n•(

2

-1)n=（2-1）ⁿ=1，
令Q²=s，則P²=s-1．
∴(1+

2

)n=

s-1

+

s

，其中s∈N₊．

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，構(gòu)造法的靈活應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．