Question

數列{a_n}的各項均為正數，S_n為其前n項和，對于任意的n∈N^*，總有a_n，S_n，a_n²成等差數列．
（1）求a₁；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）設數列{b_n}的前n項和為T_n，且b_n=，求證：對任意正整n，總有T_n＜2．

Answer 1

【答案】分析：（1）（2）由題意可得，利用和等差數列的通項公式即可得出．
（3）由（2）可得．當n≥2時，，利用裂項求和即可證明．
解答：解：（1）∵對于任意的n∈N^*，總有a_n，S_n，a_n²成等差數列．
∴，
令n=1，得，解得a₁=1．
（2）當n≥2時，由，，
得，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵?n∈N^*，a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴數列{a_n}是公差為1的等差數列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（3）由（2）可得．
當n≥2時，，
∴=2-．
當n=1時，T₁=b_n=1＜2．
∴對任意正整n，總有T_n＜2．
點評：熟練掌握利用求a_n和等差數列的通項公式、放縮法、裂項求和等是解題的關鍵．