Question

在銳角△ABC中，已知內角A、B、C的對邊分別為a、b、c．向量

m

=(2sin(A+C)，

3

)，

n

=(cos2B，2cos2

B

2

-1)，且向量

m

、

n

共線．
（1）求角B的大��；
（2）如果b=1，求△ABC的面積V_△ABC的最大值．

Answer 1

分析：（1）由兩向量共線，得到向量的坐標表示列出一個關系式，根據三角形的內角和定理得到A+C=π-B，利用誘導公式化簡這個關系式后，再利用二倍角的正弦、余弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡，得到tan2B的值，又三角形為銳角三角形，由B的范圍求出2B的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（2）根據余弦定理表示出b²=a²+c²-2accosB，把（1）求出的B的度數與b的值代入得到一個關于a與c的式子，變形后，根據基本不等式即可求出ac的最大值，然后利用三角形的面積公式，由ac的最大值及sinB的值，表示出三角形ABC的面積，即為三角形面積的最大值．

解答：解：（1）∵向量

m

、

n

共線，
∴2sin（A+C）（2cos2

B

2

-1）-

3

cos2B=0，又A+C=π-B，
∴2sinBcosB-

3

cos2B，即sin2B=

3

cos2B，
∴tan2B=

3

，
又銳角△ABC，得到B∈（0，

π

2

），
∴2B∈（0，π），
∴2B=

π

3

，故B=

π

6

；
（2）由（1）知：B=

π

6

，且b=1，
根據余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：a²+c²-

3

ac=1，
∴1+

3

ac=a²+c²≥2ac，即（2-

3

）ac≤1，ac≤

1

2- 3

=2+

3

，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

4

ac≤

2+ 3

4

，當且僅當a=c=

6 + 2

2

時取等號，
∴△ABC的面積最大值為

2+ 3

4

．

點評：此題考查了平面向量的數量積的坐標表示，三角函數的恒等變形，余弦定理及三角形的面積公式．學生作第二問時注意利用基本不等式求出ac的最大值是解本題的關鍵．