Question

在銳角△ABC中，已知內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足2sinB（2cos²

B

2

-1）=-

3

cos2B．
（1）求B的大小；
（2）如果b=2，求△ABC的面積S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析：（1）將已知等式左邊括號中的兩項利用二倍角的余弦函數公式化簡，再利用二倍角的正弦函數公式化簡，然后等式左右兩邊同時除以cos2B，利用同角三角函數間的基本關系弦化切求出tan2B的值，由B為銳角得出2B的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（2）由B的度數求出sinB及cosB的值，利用余弦定理得到b²=a²+c²-2accosB，將cosB及b的值代入，并利用基本不等式求出ac的最大值，再由三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將sinB的值及ac的最大值代入，即可求出三角形ABC面積的最大值．

解答：解：（1）由2sinB（2cos²

B

2

-1）=-

3

cos2B，
得2sinBcosB=sin2B=-

3

cos2B，
∴tan2B=-

3

，…（4分）
∵B為銳角，即0＜2B＜π，
∴2B=

2π

3

，
∴B=

π

3

；…（6分）
（2）∵B=

π

3

，b=2，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：4=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac（當且僅當a=c=2時等號成立），…（9分）
∴△ABC的面積S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

，
則△ABC的面積最大值為

3

．…（12分）

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：二倍角的正弦、余弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，余弦定理，三角形的面積公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．