Question

設復數（i為虛數單位），則C₈+C₈¹•z+C₈²•z²+C₈³•z³+C₈⁴•z⁴+C₈⁵•z⁵+C₈⁶•z⁶+C₈⁷•z⁷=（ ）
A．16
B．15
C．16i
D．16-i

Answer 1

【答案】分析：先利用復數的運算求出z=i；再結合二項式定理的應用把所求問題轉化為（1+i）⁸-C₈⁸z⁸即可求出結論．
解答：解：∵z==i．
∵（1+z）⁸=（1+i）⁸=C₈+C₈¹•z+C₈²•z²+C₈³•z³+C₈⁴•z⁴+C₈⁵•z⁵+C₈⁶•z⁶+C₈⁷•z⁷+c₈⁸z⁸．
∴C₈+C₈¹•z+C₈²•z²+C₈³•z³+C₈⁴•z⁴+C₈⁵•z⁵+C₈⁶•z⁶+C₈⁷•z⁷
=（1+i）⁸-C₈⁸z⁸
=（1+i）⁸-C₈⁸i⁸
=[（1+i）⁴]²-[（i）⁴]²
=（-4）²-1²=15．
故選：B．
點評：本題主要考查二項式定理的應用以及復數的運算．考查計算能力，屬于基礎題目．解決問題的關鍵在于把所求問題轉化為（1+i）⁸-C₈⁸z⁸．