Question

已知橢圓方程為，左、右焦點(diǎn)分別是，若橢圓上的點(diǎn)到的距離和等于．

（Ⅰ）寫(xiě)出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)是橢圓的動(dòng)點(diǎn)，求線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅲ）直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，若為銳角（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線(xiàn)的斜率的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）橢圓的方程，焦點(diǎn)

（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題意得：，

又點(diǎn)橢圓上，∴

∴　橢圓的方程，焦點(diǎn)．　                     ……5分

（Ⅱ）設(shè)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段中點(diǎn)，

由題意得：，

代入橢圓的方程得，，

即為線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程．　　　                       ……9分

（Ⅲ）由題意得直線(xiàn)的斜率存在且不為，

設(shè)代入整理，

得　，

　　　①

設(shè)，∴　

∵為銳角，即，

又　．

∴　

，　∴　．　②

由①、②得　，∴的取值范圍是．　              ……14分

考點(diǎn)：本小題注意考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系等.

點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題一般離不開(kāi)直線(xiàn)方程和圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立方程組，運(yùn)算量較大，注意到聯(lián)立得到直線(xiàn)方程后，不要忘記驗(yàn)證.