Question

（2010•江蘇模擬）已知橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），當(dāng)a2+

16

b(a-b)

的最小值時(shí)，橢圓的離心率e=

3

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)均值不等式b（a-b）≤

(b+a-b)2

4

，進(jìn)而根據(jù)a²+

16×4

a2

≥2

16×4

求得原式的最小值，此時(shí)a，b和c的關(guān)系，進(jìn)而求得此時(shí)的離心率．

解答：解：a2+

16

b(a-b)

≥a²+

16

(b+a-b)2 4

=a²+

16×4

a2

≥2

16×4

=16．當(dāng)且僅當(dāng)a-b=b，即a=2b時(shí)取等號(hào)．此時(shí)c=

a 2-b2

=

3

b
∴e=

c

a

=

3

2

故答案為

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．考查了學(xué)生基本運(yùn)算的能力．