Question

已知函數f（x）=2cos²ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小值正周期是

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

分析：（1）先用二倍角公式和兩角和公式對函數解析式進行化簡，進而根據函數的最小正周期求得ω．
（2）根據正弦函數的性質可知4x+

π

4

=

π

2

+2kπ時，函數取最大值2+

2

，進而求得x的集合．

解答：解：（Ⅰ）解：f(x)=2•

1+cos2ωx

2

+sin2ωx+1
=sin2ωx+cos2ωx+2
=

2

(sin2ωxcos

π

4

+cos2ωxsin

π

4

)+2
=

2

sin(2ωx+

π

4

)+2
由題設，函數f（x）的最小正周期是

π

2

，可得

2π

2ω

=

π

2

，所以ω=2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=

2

sin(4x+

π

4

)+2．
當4x+

π

4

=

π

2

+2kπ，即x=

π

16

+

kπ

2

(k∈Z)時，sin(4x+

π

4

)取得最大值1，
所以函數f（x）的最大值是2+

2

，此時x的集合為{x|x=

π

16

+

kπ

2

，k∈Z}．

點評：本小題主要考查特殊角三角函數值、兩角和的正弦、二倍角的正弦與余弦、函數y=Asin（ωx+φ）的性質等基礎知識，考查基本運算能力．