Question

關于f(x)=4sin(2x+

π

3

)(x∈R)，有下列命題：
①y=f（x）圖象關于直線x=-

5π

12

對稱
②y=f（x）圖象關于（-

π

6

，0）對稱；
③y=f（x）圖象上相鄰最高點與最低點的連線與x軸的交點一定在y=f（x）的圖象上．
其中正確命題的序號有

 

．

Answer 1

分析：將x=-

5π

12

代入函數f(x)=4sin(2x+

π

3

)中得到f（-

5π

12

）=-4為最值，可驗證①正確；
將x=-

π

6

代入函數f(x)=4sin(2x+

π

3

)中，得到f（-

π

6

）=0，進而可得到圖象關于（-

π

6

，0）對稱，故②正確；
根據函數f(x)=4sin(2x+

π

3

)(x∈R)是關于點（-

π

6

+

kπ

2

，0）成中心對稱的圖形，進而可得到相鄰最高點與最低點均關于其對應的（-

π

6

+

kπ

2

，0）對稱，故連線必過點（-

π

6

+

kπ

2

，0），可驗證③正確．

解答：解：①、將x=-

5π

12

代入函數f(x)=4sin(2x+

π

3

)中得到
f（-

5π

12

）=4sin[2(-

5π

12

)+

π

3

]=-4，故x=-

5π

12

是y=f（x）的對稱軸，即①正確；
②、將x=-

π

6

代入函數f(x)=4sin(2x+

π

3

)中，得到f（-

π

6

）=4sin[2(-

π

6

)+

π

3

]=0，
故y=f（x）圖象關于（-

π

6

，0）對稱，故②正確；
③、因為函數f(x)=4sin(2x+

π

3

)(x∈R)是關于點（-

π

6

+

kπ

2

，0）對稱的圖形，故相鄰最高點與最低點均關于其對應的（-

π

6

+

kπ

2

，0）對稱，從而兩點連線定過點（-

π

6

+

kπ

2

，0），故③正確．
故答案為：①②③．

點評：本題主要考查正弦函數的基本性質--對稱性．考查對基礎知識的掌握熟練程度和認識深度．