Question

關于函數f(x)=4sin(2x+

π

3

)（x∈R），有下列命題：
（1）y=f（x）的表達式可以改寫成y=4cos(2x-

π

6

)
（2）y=f（x）是最小正周期為π的單調增函數．
（3）y=f（x）的圖象關于點(-

π

6

，0)對稱．
（4）y=f（x）的圖象關于直線x=

π

3

對稱．
期中正確的命題為

 

．

Answer 1

分析：（1）利用誘導公式cos（

π

2

-α）=sinα，把函數名由正弦轉化為余弦，同時角也發行轉化，得到了要得到解析式；
（2）y=f（x）最小正周期為π，但在定義域上不是單調函數；
（3）把x=-

π

6

代入解析式，若等于0，正確，不等0，錯誤；
（4）把x=

π

3

代入解析式，若等于最值，正確，不等最值，錯誤．

解答：解：∵f（x）=4sin（2x+

π

3

）=4cos（

π

2

-2x-

π

3

）=4cos（

π

6

-2x）=4cos（2x-

π

6

），∴（1）正確；
∵y=f（x）是最小正周期為π的非單調函數，∴（2）錯誤；
∵4sin[2×（-

π

6

）+

π

3

]=4sin0=0，∴（3）正確；
∵sin（2×

π

3

+

π

3

）=sinπ=0，不為最值，∴（4）錯誤．
故答案為：（1）（3）．

點評：本題考查了函數y=Asin（ωx+φ）的性質，用到誘導公式，要知應用哪一組公式可以變函數名，周期函數不會是單調函數，與x軸的交點都是函數的對稱中心，過圖象最高點和最低點的直線都是函數的對稱軸．