Question

（2013•哈爾濱一模）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，△PAD為等邊三角形，平面 PAD⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AB=2且，E為AD 的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求點E到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：（1）連結PE、BE、BD．菱形ABCD的角∠DAB=60°，可得△ABD為等邊三角形，由“三線合一”證出BE⊥AD；同理證出△PAD中PE⊥AD，結合線面垂直的判定定理，證出AD⊥平面PBE，可得AD⊥PB；
（2）平面PBE內作直線EH⊥PB于H，由線面垂直的判定與性質，證出EH⊥平面PBC，可得EH長就是點E到平面PBC的距離．根據平面 PAD⊥平面ABCD，證出PE⊥平面ABCD，可得PE⊥BE，然后分別在正△ABD、正△APD中算出BE=PE=

3

．最后在等腰Rt△PEB中算出斜邊PB上的高EH=

2

2

PE=

6

2

，由此可得點E到平面PBC的距離．

解答：解：（1）連結PE、BE、BD，
∵菱形ABCD中，∠DAB=60°，∴△ABD為等邊三角形
∵E為AD 的中點，∴BE⊥AD
∵△PAD為等邊三角形，E為AD 的中點，∴PE⊥AD
∵PE、BE是平面PBE內部的相交直線，∴AD⊥平面PBE
∵PB?平面PBE，∴AD⊥PB；
（2）平面PBE內作直線EH⊥PB于H，
∵AD⊥平面PBE，AD∥BC，∴BC⊥平面PBE，
∵EH?平面PBE，∴EH⊥BC
又∵EH⊥PB，BC∩PB=B，∴EH⊥平面PBC
由此可得EH長就是點E到平面PBC的距離
∵等邊△ABD的邊長為2，∴中線BE=

3

2

AB=

3

同理可得PE=

3

∵平面 PAD⊥平面ABCD，平面 PAD∩平面ABCD=AD，PE⊥AD
∴PE⊥平面ABCD，可得PE⊥BE
∴△PEB是等腰直角三角形，可得斜邊PB上的高EH=

2

2

PE=

6

2

因此，點E到平面PBC的距離等于

6

2

．

點評：本題給出側面為等邊三角形，且該側面與底面菱形垂直的四棱錐，求證線線垂直并求點到平面的距離，著重考查了等邊三角形、菱形的性質，線面垂直、面面垂直的判定與性質等知識，屬于中檔題．