Question

設函數，若f（x）在處取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）存在使得不等式f（x₀）-c≤0成立，求c的最小值．

Answer 1

解：（1）∵，定義域為（0，+∞），
∴．…（1分），
∵處取得極值，
∴…（2分）
即，解得，
∴所求的a，b的值分別為…（4分）
（ii）因在存在x_o，使得不等式f（x_o）-c≤0成立，
故只需c≥[f（x）]_min，
由==．…（6分）
f'（x）導數的符號如圖所示
∴f（x）在區間，[1，2]遞減；
遞增；…（7分）
∴f（x）在區間 上的極小值是．…（8分）
而，且，
又∵e³-16＞0，∴…（10分）
∴[f（x）]_min=f（2）…（11分）
∴，即c的最小值是…（12分）
分析：（1）由真數大于零求出函數的定義域，再求出函數的導數，由取得極值的必要條件得，列出方程組進行求解；
（2）由f（x₀）-c≤0成立，轉化為c≥[f（x）]_min，再由導數的符號確定函數在已知區間上的單調性，進而求出函數的極值，再求出區間端點處的函數值進行比較，求出函數的最小值．
點評：本題考查了利用函數的導數研究函數的單調性、極值和最值問題，以及恒成立轉化問題，考查了分析及解決問題的能力．