Question

某宇宙飛船的運行軌道是以地球中心F為焦點的橢圓，測得近地點A距離地面m（km），遠地點B距離地面n（km），地球半徑為R（km），關于這個橢圓有以下四種說法：
①焦距長為n-m；②短軸長為

(m+R)(n+R)

；③離心率e=

n-m

m+n+2R

；④若以AB方向為x軸正方向，F為坐標原點，則與F對應的準線方程為x=-

2(m+R)(n+R)

(n-m)

，其中正確的序號為

 

．

Answer 1

分析：由題意，n+R=a+c，m+R=a-c，
①焦距長為n-m，直接求n-m的表達式即可；
②短軸長為

(m+R)(n+R)

，求出a，c，計算出b，進行驗證；
③離心率e=

n-m

m+n+2R

，求出a，c，計算出e進行驗證；
④若以AB方向為x軸正方向，F為坐標原點，則與F對應的準線方程為x=-

2(m+R)(n+R)

(n-m)

，在規定的坐標系下求出其準線方程對照即可．

解答：解：由題意n+R=a+c，m+R=a-c，
①可解得n-m=2c，故①正確；
②由n+R=a+c，m+R=a-c，得a=

m+n+2R

2

，c=

n-m

2

∴b=

a2-c2

=

(m+R)(n+R)

，故此命題不對；
③由②知e=

n-m

m+n+2R

故此命題正確；
④由于左焦點在原點，故左準線方程為x=c-

a2

c

=-

b2

c

=-

2(m+R)(n+R)

(n-m)

，此命題正確．
綜上知①③④正確
故答案為①③④

點評：本題考查橢圓的應用，綜合考查了橢圓的長軸、短軸、以及離心率和準線等性質，本題建立的坐標系原點在焦點上，這無形中給求準線方程帶來了一個小問題，要注意通過平移的相關規則得出正確的答案．