Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=1，2a_n+1=2a_n+p（p為常數，n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）若S₃=12，求S_n；
（Ⅱ）若數列{a_n}是等比數列，求實數p的值．
（Ⅲ）是否存在實數p，使得數列{

1

an

}滿足：可以從中取出無限多項并按原來的先后次序排成一個等差數列？若存在，求出所有滿足條件的p的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：等差數列的性質,數列遞推式

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）利用a₁=1，2a_n+1=2a_n+p，求出2a₂=2+p，2a₃=2+2p，利用S₃=12，求出p，即可求S_n；
（Ⅱ）若數列{a_n}是等比數列，則a₂²=a₁a₃，求出實數p的值，再驗證；
（Ⅲ）利用反證法進行證明即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=1，2a_n+1=2a_n+p，
∴2a₂=2+p，2a₃=2+2p，
∵S₃=12，
∴2+2+p+2+2p=6+3p=24，
∴p=6，
∴a_n+1-a_n=3，
∴數列{a_n}是以1為首項，3為公差的等差數列，
∴S_n=n+

n(n-1)

2

×3=

3n2-n

2

；
（Ⅱ）若數列{a_n}是等比數列，則a₂²=a₁a₃，
∴（1+

p

2

）²=1×（1+p），
∴p=0，
∴a_n+1=a_n，
此時，數列{a_n}是以1為首項，1為公比的等比數列；
（Ⅲ）p=0時，a_n=1，數列{

1

an

}是等差數列，滿足題意；
p≠0時，a_n+1-a_n=

p

2

，∴數列{a_n}是以1為首項，

p

2

為公差的等差數列，
∴a_n=

p

2

n+1-

p

2

．
假設存在p₀≠0，滿足題意，數列記為{b_n}．
①p₀＞0，a_n＞0，數列{b_n}是各項均為正數的遞減數列，∴d＜0．
∵b_n=b₁+（n-1）d，∴n＜1-

b1

d

時，b_n=b₁+（n-1）d＜b₁+（1-

b1

d

-1）d=0，與b_n＞0矛盾；
②p₀＞0，令

p0

2

n+1-

p0

2

＜0，∴n＞1-

2

p0

，a_n＜0，數列{b_n}是各項均為負數的遞增數列，∴d＞0．
∵b_n=b₁+（n-1）d，∴n＞1-

b1

d

時，b_n=b₁+（n-1）d＞b₁+（1-

b1

d

-1）d=0，與b_n＜0矛盾，
綜上所述，p=0是唯一滿足條件的p的值．

點評：本題考查數列的通項與求和，考查反證法，考查學生分析解決問題的能力，有難度．