Question

已知直線y=2x+k被拋物線x²=4y截得的弦長AB為20，O為坐標(biāo)原點．
（1）求實數(shù)k的值；
（2）問點C位于拋物線弧AOB上何處時，△ABC面積最大？

Answer 1

分析：（1）先把直線方程和拋物線方程聯(lián)立消去y，再利用弦長公式就可求出實數(shù)k的值；
（2）△ABC面積最大，轉(zhuǎn)化為點C到直線AB的距離最長，所以點C在與直線AB平行的拋物線的切線上，利用斜率相等就可求出點C的坐標(biāo)．

解答：解：（1）將y=2x+k代入x²=4y得x²-8x-4k=0，（2分）
由△=64+16k＞0可知k＞-4，
另一方面，弦長AB=

5

×

64+16k

=20，解得k=1；（6分）
（2）當(dāng)k=1時，直線為y=2x+1，要使得內(nèi)接△ABC面積最大，
則只須使得y′C=

1

4

×2xC=2，（8分）
即x_C=4，即C位于（4，4）點處．（10分）

點評：本小題綜合考查平面解析幾何知識，主要涉及平面直角坐標(biāo)系中的兩點間距離公式、直線的方程與斜率、拋物線上的點與曲線方程的關(guān)系，考查運(yùn)算能力與思維能力、綜合分析問題的能力．