Question

已知直線y=2x+k被拋物線x²=4y截得的弦長AB為20，O為坐標原點．
（1）求實數k的值；
（2）問點C位于拋物線弧AOB上何處時，△ABC面積最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）先把直線方程和拋物線方程聯立消去y，再利用弦長公式就可求出實數k的值；
（2）△ABC面積最大，轉化為點C到直線AB的距離最長，所以點C在與直線AB平行的拋物線的切線上，利用斜率相等就可求出點C的坐標．
解答：解：（1）將y=2x+k代入x²=4y得x²-8x-4k=0，（2分）
由△=64+16k＞0可知k＞-4，
另一方面，弦長AB=，解得k=1；（6分）
（2）當k=1時，直線為y=2x+1，要使得內接△ABC面積最大，
則只須使得，（8分）
即x_C=4，即C位于（4，4）點處．（10分）
點評：本小題綜合考查平面解析幾何知識，主要涉及平面直角坐標系中的兩點間距離公式、直線的方程與斜率、拋物線上的點與曲線方程的關系，考查運算能力與思維能力、綜合分析問題的能力．