Question

已知函數f(x)=[2sin(x+

π

3

)+sinx]cosx-

3

sin2x．
（1）求函數f（x）的最小值以及對應的x值．
（2）若函數f（x）關于點（a，0）（a＞0）對稱，求a的最小值．
（3）做出函數y=f（x）在[0，π]上的圖象．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和的正弦公式及半角公式的變形，化簡函數f（x）的解析式，化成關于某個角的正弦．
利用正弦取的最小值的條件求出f（x）的最小值以及對應的x值．
（2）由 2a+

π

3

=kπ，求出  a=

1

2

kπ-

π

6

，故a的最小值

π

3

．
（3）利用函數的周期等于π，據五點法作圖的步驟，從區間的前端點開始，每隔

π

4

個單位取一個點，
得到圖象上的五個關鍵點，然后用平滑的曲線連接．

解答：解：f(x)=[2sin(x+

π

3

)+sinx]cosx-

3

sin2x=（sinx+

3

cosx+sinx）cosx-

3

sin2x 
=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)
（1）當且僅當2x+

π

3

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

5π

12

(k∈Z)時，f（x）有最小值-2
（2）由已知函數f（x）關于點（a，0）（a＞0）對稱，
可得 2a+

π

3

=kπ，k∈z，所以a=

1

2

kπ-

π

6

，k∈z．
因為a＞0，所以k=1時，a有最小值

π

3

．
（3）∵0≤x≤π，∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

7π

3

，
列表：

作圖

點評：本題考查兩角和差的三角公式的應用，正弦函數的最值及對稱中心以及五點法作圖的方法．