Question

已知y=f（x）是偶函數(shù)，而y=f（x+1）是奇函數(shù)，且對任意0＜x＜1，都有f(x)=lnx-

1

x

，則a=f(

2009

4

)，b=f(

2011

2

)，c=f(

2012

3

)的大小關(guān)系是（　　）

• A、c＜a＜b
• B、a＜c＜b
• C、c＜b＜a
• D、a＜b＜c

Answer 1

分析：y=f（x）是偶函數(shù)，而y=f（x+1）是奇函數(shù)可推斷出=f（x）是周期為4的函數(shù)，y=f（x）是偶函數(shù)，對任意0＜x＜1，都有f(x)=lnx-

1

x

，知y=f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，由這些性質(zhì)將三數(shù)化簡為自變量在0≤x≤1的函數(shù)值來表示，再利用單調(diào)性比較大小．

解答：解：∵對任意0＜x＜1，都有f(x)=lnx-

1

x

，
∴函數(shù)在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，且f（x）＜-1
又∵y=f（x）是偶函數(shù)，而y=f（x+1）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），f（-x+1）=-f（x+1），
∴f（x）是周期為4的函數(shù)
∴a=f(

2009

4

)=f(

9

4

)=-f(

1

4

)
b=f(

2011

2

)=f(

3

2

)=-f(

1

2

)
c=f(

2012

3

)=f（-

8

3

）=-f（

1

3

）
∴c＜b＜a
故選C

點評：本題考點是函數(shù)奇偶性的運用，考查綜合利用奇偶性來研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，在本題三數(shù)的大小比較中，利用到了把三數(shù)轉(zhuǎn)化到一個單調(diào)區(qū)間上來比較的技巧．在利用單調(diào)性比較大小時注意這一轉(zhuǎn)化技巧的運用．