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已知y=f(x)是偶函數(shù),而y=f(x+1)是奇函數(shù),且對任意0<x<1,都有f(x)=lnx-
1
x
,則a=f(
2009
4
),b=f(
2011
2
),c=f(
2012
3
)
的大小關(guān)系是(  )
A、c<a<b
B、a<c<b
C、c<b<a
D、a<b<c
分析:y=f(x)是偶函數(shù),而y=f(x+1)是奇函數(shù)可推斷出=f(x)是周期為4的函數(shù),y=f(x)是偶函數(shù),對任意0<x<1,都有f(x)=lnx-
1
x
,知y=f(x)在(0,1)上是增函數(shù),由這些性質(zhì)將三數(shù)化簡為自變量在0≤x≤1的函數(shù)值來表示,再利用單調(diào)性比較大小.
解答:解:∵對任意0<x<1,都有f(x)=lnx-
1
x

∴函數(shù)在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù),且f(x)<-1
又∵y=f(x)是偶函數(shù),而y=f(x+1)是奇函數(shù),
∴f(-x)=f(x),f(-x+1)=-f(x+1),
∴f(x)是周期為4的函數(shù)
a=f(
2009
4
)
=f(
9
4
)
=-f(
1
4
)

b=f(
2011
2
)
=f(
3
2
)
=-f(
1
2
)

c=f(
2012
3
)
=f(-
8
3
)=-f(
1
3

∴c<b<a
故選C
點評:本題考點是函數(shù)奇偶性的運用,考查綜合利用奇偶性來研究函數(shù)的性質(zhì),利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,在本題三數(shù)的大小比較中,利用到了把三數(shù)轉(zhuǎn)化到一個單調(diào)區(qū)間上來比較的技巧.在利用單調(diào)性比較大小時注意這一轉(zhuǎn)化技巧的運用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在[-1,1]上的函數(shù),若對于任意x,y∈[-1,1],都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0時,有f(x)>0
(1)判斷函數(shù)的奇偶性;
(2)判斷函數(shù)f(x)在[-1,1]上是增函數(shù),還是減函數(shù),并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論;
(3)設(shè)f(1)=1,若f(x)<(1-2a)m+2,對所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在[-1,1]上的函數(shù),若對于任意的x,y∈[-1,1],都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0時,有f(x)>0.
(1)求f(0)的值;
(2)判斷函數(shù)的奇偶性;
(3)判斷函數(shù)f(x)在[-1,1]上是增函數(shù)還是減函數(shù),并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知y=f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對于任意的a,b∈R,都滿足:f(a•b)=af(b)+bf(a).
(1)求f(1)的值;
(2)判斷y=f(x)的奇偶性,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)是定義在[-1,1]上的函數(shù),若對于任意x,y∈[-1,1],都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0時,有f(x)>0
(1)判斷函數(shù)的奇偶性;
(2)判斷函數(shù)f(x)在[-1,1]上是增函數(shù),還是減函數(shù),并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論;
(3)設(shè)f(1)=1,若f(x)<(1-2a)m+2,對所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)是定義在[-1,1]上的函數(shù),若對于任意x,y∈[-1,1],都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0時,有f(x)>0
(1)判斷函數(shù)的奇偶性;
(2)判斷函數(shù)f(x)在[-1,1]上是增函數(shù),還是減函數(shù),并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論;
(3)設(shè)f(1)=1,若f(x)<(1-2a)m+2,對所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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