Question

橢圓的離心率e=，過右焦點F的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，當直線l的斜率為1時，坐標原點O到直線l的距離為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，橢圓C上是否存在點P，使得當直線l繞點F轉到某一位置時，有成立？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標及對應的直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵O到直線l的距離為，l：y=x-c，
∴，∴c=1．
∵e=，∴，∴b²=1．
∴橢圓C的方程為．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）設y=k（x-1）（k≠0）
由，消去y得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴，
∴．
∵，
∴x₀=，
∴y₀=．
將P點坐標代入橢圓得，
∴，∴，．
當時，，直線，
當時，，直線．
分析：（1）由O到直線l的距離為，l：y=x-c，知，c=1．由e=，知，b²=1．由此能求出橢圓C的方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）設y=k（x-1）（k≠0）由，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．由此能求出求出所有滿足條件的點P的坐標及對應的直線方程．
點評：本題考查橢圓C的方程的求法，探究橢圓C上是否存在點P，使得當直線l繞點F轉到某一位置時，有成立．若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標及對應的直線方程；若不存在，請說明理由．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．