設數列
，
，若以
為系數的二次方程:
都有根
滿足
.
（1）求證：
為等比數列
（2）求
.
（3）求的前
項和
.
（1）證明過程詳見解析；（2）
；（3）
.
解析試題分析：本題考查等差數列等比數列的通項公式、前n項和公式、數列求和等基礎知識，考查運算能力和推理論證能力.第一問，利用根與系數關系，得到兩根之和、兩根之積，代入到中，得到和
的關系式，再用配湊法，湊出一個新的等比數列；第二問，利用第一問的結論，先求出新數列的通項公式，再求；第三問，用分組求和的方法，分別是等比數列和等差數列，直接用前n項和公式求和即可.
試題解析：（1）∵
都有根滿足，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
∴
∴
，而
，
∴是以
為首項，以為公比的等比數列.
（2）∵
，∴.
（3）
.
考點：1.根與系數的關系；2.配湊法求通項公式；3.分組求和；4.等差等比數列的前n項和公式.
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若數列
滿足
,則稱數列為“平方遞推數列”．已知數列
中，
，點
在函數
的圖象上，其中
為正整數．
（Ⅰ）證明數列
是“平方遞推數列”，且數列
為等比數列；
（Ⅱ）設（Ⅰ）中“平方遞推數列”的前
項積為
，即
，求
；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記
，求數列
的前項和
，并求使
的的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設
為數列
的前
項和，對任意的
，都有
（
為正常數）.
（1）求證：數列是等比數列；
（2）數列
滿足
，
，求數列的通項公式；
（3）在滿足（2）的條件下，求數列
的前項和
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
的前
項和為
，
，
是
與
的等差中項（
）.
（Ⅰ）證明數列
為等比數列；
（Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）是否存在正整數
，使不等式
（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由.
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為等差數列，
，其前n項和為
，若
，
值.
的前n項和為
，已知
，
是
和
的等比中項．
為等差數列，且
.
項和
；
滿足
求數列
中，
（
）．
的值；
，使得數列
是一個等差數列？若存在，求
的通項公式；若不存在，請說明理由．
中，
，
，若數列
滿足
.