Question

（2012•西城區一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的離心率為

5

3

，定點M（2，0），橢圓短軸的端點是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設過點M且斜率不為0的直線交橢圓C于A，B兩點．試問x軸上是否存在定點P，使PM平分∠APB？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用離心率為

5

3

，可得

b

a

=

2

3

，由橢圓短軸的端點是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂，可得△MB₁B₂是等腰直角三角形，由此可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設線AB的方程與橢圓C的方程聯立，利用韋達定理，結合PM平分∠APB，則直線PA，PB的傾斜角互補，建立方程，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）由 

5

9

=e2=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

，得 

b

a

=

2

3

．…（2分）
依題意△MB₁B₂是等腰直角三角形，從而b=2，故a=3．…（4分）
所以橢圓C的方程是

x2

9

+

y2

4

=1．…（5分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為x=my+2．
將直線AB的方程與橢圓C的方程聯立，消去x得 （4m²+9）y²+16my-20=0．…（7分）
所以 y1+y2=

-16m

4m2+9

，y1y2=

-20

4m2+9

．…（8分）
若PM平分∠APB，則直線PA，PB的傾斜角互補，所以k_PA+k_PB=0．…（9分）
設P（a，0），則有 

y1

x1-a

+

y2

x2-a

=0．
將 x₁=my₁+2，x₂=my₂+2代入上式，整理得 

2my1y2+(2-a)(y1+y2)

(my1+2-a)(my2+2-a)

=0，
所以 2my₁y₂+（2-a）（y₁+y₂）=0．…（12分）
將 y1+y2=

-16m

4m2+9

，y1y2=

-20

4m2+9

代入上式，整理得 （-2a+9）•m=0．…（13分）
由于上式對任意實數m都成立，所以 a=

9

2

．
綜上，存在定點P(

9

2

，0)，使PM平分∠APB．…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查存在性問題的探究，屬于中檔題．