Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求函數(shù)的極小值；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.

Answer 1

【答案】（1）0；（2）見解析.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，即可求出極小值；

（2）方法一：不等式恒成立等價(jià)于恒成立. 令，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，即可證明. 方法二：令.通過對(duì)函數(shù)二次求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，即可證明.

（1），

則，令，則.

當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，

為單調(diào)增函數(shù)；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值.

（2）方法一：

當(dāng)時(shí)，不等式恒成立

等價(jià)于恒成立.

令，

則.

所以，當(dāng)時(shí)，，

所以，在上單調(diào)遞增.

，

所以.

即當(dāng)時(shí)，恒成立.

方法二：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立

等價(jià)于恒成立，

即恒成立，

令，

則.

令，

則.

因?yàn)?/span>，所以，

所以在上單調(diào)遞增，所以，

故在上單調(diào)遞增，

所以，

即.

所以，當(dāng)時(shí)，不等式成立.