Question

給出下列四個命題：
①函數f（x）=

2+x2

+

1

2+x2

有最小值；
②“x²-4x-5=0”的一個必要不充分條件是“x=5”；
③命題 p：?x∈R，tanx=1；命題q：?x∈R，x²-x+1＞0．則命題“p∧（?q）”是假命題；
④函數 f（x）=x³-3x²+1 在點（2，f（2））處的切線方程為y=-3 
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題

分析：①根據函數的定義域，求出f（x）的最小值；
②判斷充分性與必要性是否成立；
③先判斷命題p、命題q的真假性，在判斷命題“p∧（?q）”的真假性；
④求出f（x）在點（2，f（2））處的切線方程．

解答： 解：對于①，∵函數f（x）=

2+x2

+

1

2+x2

≥

2

+

1

2

=

3 2

2

，
∴當x=0時，f（x）有最小值，①正確；
對于②，“x=5時”，“x²-4x-5=0”，充分性成立，
“x²-4x-5=0”時，“x=5或x=-1”必要性不成立，∴是充分不必要條件，②錯誤；
對于③，命題 p：?x∈R，tanx=1是真命題；
命題q：?x∈R，x²-x+1＞0是真命題，∴￢q是假命題，
∴命題“p∧（?q）”是假命題，③正確；
對于④，∵函數 f（x）=x³-3x²+1，∴f′（x）=3x²-6x，
∴x=2時，k=f′（2）=0，又y=f（2）=-3，
∴在點（2，f（2））處的切線方程為y=-3，④正確．
綜上，正確的命題是③④．
故答案為：①③④．

點評：本題考查了函數的圖象與性質的應用問題，也考查了充分與必要條件的應用問題，復合命題的真假性問題以及利用導數求函數的切線問題，是綜合題目．