Question

設函數．
（I）證明f（x）在（-b，+∞）內是減函數；
（II）若不等式在[4，6]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

（I）證明：f（x）==1+
設x₁＞x₂＞-b，
則f（x₁）-f（x₂）=1+-（1-）=；
∵a＞b＞0，x₁＞x₂＞-b
∴a-b＞0，x₂-x₁＜0，x₁+b＞0，x₂+b＞0
則f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）在（-b，+∞）內是減函數；
（II）∵不等式在[4，6]上恒成立
∴m＞（）_max
而由（1）可知在（-2，+∞）上單調遞減則在[4，6]上減
∴m＞（）_max=．
分析：（I）設x₁＞x₂＞-b，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符號，根據函數單調性的定義進行判定即可；
（II）根據（I）可知函數在（-2，+∞）上單調遞減，從而得到在[4，6]上的單調性，從而可求出最值，即可求出所求．
點評：本題主要考查了分式函數的單調性，以及恒成立問題，同時考查了等價轉化的思想和運算求解的能力，屬于中檔題．