Question

（2012•四川）如圖，正方形ABCD的邊長為1，延長BA至E，使AE=1，連接EC、ED則sin∠CED=（　　）

• A．

  3 10

  10

• B．

  10

  10

• C．

  5

  10

• D．

  5

  15

Answer 1

分析：法一：由題意，可得∠CED=∠AED-∠AEC，根據圖象可得tan∠AED=1，tan∠AEC=

1

2

，從而有tan∠CED=tan（∠AED-∠AEC）=

tan∠AED-tan∠AEC

1+tan∠AEDtan∠AEC

=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

，再由三角函數的定義即可求出sin∠CED選出正確選項
法二：用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦，再由同角三角關系求正弦；
法三：在三角形CED中用正弦定理直接求正弦

解答：解：由題設及圖知∠CED=∠AED-∠AEC，
又正方形ABCD的邊長為1，延長BA至E，使AE=1
∴tan∠AED=1，tan∠AEC=

1

2

∴tan∠CED=tan（∠AED-∠AEC）=

tan∠AED-tan∠AEC

1+tan∠AEDtan∠AEC

=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

由圖知，可依EC所在直線為X軸，以垂直于EC的線向上的方向為Y軸建立坐標系，又∠CED銳角，由三角函數的定義知，∠CED終邊一點的坐標為（3，1），此點到原點的距離是

10

故sin∠CED=

1

10

=

10

10

故選B
法二：利用余弦定理
在△CED中，根據圖形可求得ED=

2

，CE=

5

，
由余弦定理得cos∠CED=

5+2-1

2× 2 × 5

=

3 10

10

，
∴sin∠CED=

1- 9 10

=

10

10

故選B
法三：在△CED中，根據圖形可求得ED=

2

，CE=

5

，∠CDE=135°
由正弦定理得

CE

sin∠CDE

=

CD

sin∠CED

，即sin∠CED=

CDsin∠CDE

CE

=

sin135°

5

=

10

10

故選B

點評：本題考查任意角三角函數的定義及兩角各與差的正切函數，解題的關鍵是根據圖象求出tan∠CED，本題綜合考查了正切的差角公式及三角函數的定義，綜合性強，知識性強，題后要注意總結做題的規律